如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论： ①DG=DF； ②四边形EFDG是菱形； ③；
④当时，BE的长为，其中正确的结论个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．故①正确；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．故②正确；
如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO•AF．
∵FO=GF，DF=EG，
∴EG2=GF•AF．故③正确；
如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，
∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG-40=0．
解得：FG=4，FG=-10（舍去）．
∵DF=GE=2，AF=10，
∴AD=．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即．
∴GH=．
∴BE=AD-GH=4-=，故④正确.
故选D.