若函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为______
【答案】t＞﹣
【解析】∵函数f（x）=﹣2x3+2tx2+1，
∴f′（x）=﹣6x2+4tx=0，
∴x=0，x=
（1）当t=0时，f（x=﹣2x3+1单调递减，
f（0）=1＞0，f（2）=﹣15＜0
∴存在唯一的零点，是正数．
（2）当t＞0时，
f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即0＜x＜
f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜0，x＞
∴f（x）在（﹣∞，0），（ ， +∞）单调递减
在（0，）单调递增
∴极大值f（）＞f（1），极小值f（0）=1＞0，
∴存在唯一的零点，
（3）当t＜0时，
f′（x）=﹣6x2+4tx＞0，即＜x＜0
f′（x）=﹣6x2+4tx＜00，即x＜ ， x＞0
∴f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）单调递减
在（ ， 0）单调递增
∴极小值f（）＜f（1），极大值f（0）=1＞0，
∵只需极小值f（）＞0即可，
+1＞0，且t＜0
∴﹣＜t＜0，
综上：﹣＜t＜0，或t≥0
所以答案是：t＞﹣ ．